مقدمه

در دنیای امروز، ترید حرفه‌ای فراتر از شهود و تجربهٔ فردی است؛ ریاضیات ستون فقرات هر استراتژی منظم و موفق محسوب می‌شود. از آمار توصیفی تا مدل‌های ریاضی پیچیده—به‌کارگیری دقیق ابزارهای عددی می‌تواند ریسک را محدود و بازده را بهینه کند. در این مقاله به مهم‌ترین جنبه‌های کاربردی ریاضیات در معامله‌گری می‌پردازیم.

۱. آمار توصیفی و شاخص‌های پایه

• میانگین و میانه بازده‌ها

• انحراف معیار (σ): سنجش نوسان قیمت

• چولگی و کشیدگی (Skewness/Kurtosis): بررسی «دم‌های» توزیع بازده

• همبستگی (Correlation): اندازه‌گیری رابطهٔ بین دارایی‌ها برای تنوع‌بخشی

۲. نظریهٔ احتمالات در تصمیم‌گیری

• تابع چگالی احتمال (PDF) و تابع تجمعی (CDF) برای پیش‌بینی قیمت

• احتمال شکستن سطح: با مدل‌هایی چون Wiener Process

• قوانین بیز (Bayes’ Theorem) برای به‌روزرسانی باور براساس خبر جدید

۳. تحلیل سری‌های زمانی (Time Series)

• مدل‌های AR, MA, ARMA, ARIMA: برای پیش‌بینی روند قیمت

• فصلیّت و روند: جداسازی مؤلفه‌ها با روش Decomposition

• حدس نقطهٔ عطف (Change Point Detection): شناسایی آغاز برگشت قیمت

۴. اندیکاتورهای ریاضی در تحلیل تکنیکال

۵. مدیریت ریسک و مدل‌های VaR

• Value at Risk (VaR):
  – پارامتریک (Variance–Covariance): فرض توزیع نرمال بازده
  – تاریخی (Historical Simulation): جداسازی بازده‌های گذشته
  – مونت‌کارلو: شبیه‌سازی هزاران مسیر قیمت

• CVaR (Conditional VaR): میانگین زیان‌های فراتر از VaR

۶. بهینه‌سازی پرتفوی (Portfolio Optimization)

• مدل مارکویتز: بهینه‌سازی بازده–ریسک بر اساس ماتریس کوواریانس

• مرز کارآ (Efficient Frontier): مجموعهٔ پورتفو با بیشینهٔ بازده برای ریسک داده

• استراتژی‌های تجدید تعادل (Rebalancing): حفظ نسبت دارایی‌ها بر مبنای محاسبات مجدد

۷. یادگیری ماشین و روش‌های مدرن

• رگرسیون خطی/لوجستیک: پیش‌بینی جهت حرکت قیمت

• درخت تصمیم و Random Forest: شناسایی عوامل مؤثر

• شبکه‌های عصبی (ANN/LSTM): گرفتن الگوهای پیچیده در داده‌های تاریخی

• بهینه‌سازی الگوریتمی: Genetic Algorithm و Particle Swarm برای یافتن پارامترهای بهینه

۸. مثال کاربردی: شبیه‌سازی مونت‌کارلو

1. تعیین قیمت آغازین، میانگین بازده و انحراف معیار

2. تولید هزاران مسیر تصادفی بر اساس فرآیند Geometric Brownian Motion

3. محاسبهٔ توزیع قیمت در بازهٔ مورد نظر

4. استخراج احتمال رسیدن به هدف سود یا فعال شدن حد ضرر

نتیجه‌گیری

ریاضیات، زبان قدرت در معامله‌گری مدرن است. با ترکیب آمار دقیق، مدل‌های احتمالاتی، تحلیل سری‌های زمانی و مدل‌های مدیریت ریسک می‌توانید هر استراتژی را از سطح شهودی به سطح سیستماتیک ارتقا دهید. آموزش مستمر در ابزارهای نرم‌افزاری (Python, R, MATLAB) و فهم عمیق مبانی نظری، کلید موفقیت در بازارهای مالی پرتلاطم امروز است.